很少有人知道高斯-博内公式。事实上，平面上三角形内角和等于度是它最简单的形式，用古希腊几何学家欧几里得在《几何原本》中给出的平行公理就可以证明。

但是世界不是平的，而要把平面上三角形内角和公式推广到曲面上，需要新的数学工具，一个是微积分，另一个是微积分上的曲面理论。在牛顿和莱布尼茨先后创立微积分后，欧拉、蒙日和高斯开创了曲线和曲面的微分几何。年高斯在论文《关于曲面的一般研究》中给出了曲面上测地三角形的内角和公式（见下图），三个内角和等于曲面曲率在测地三角形T上的积分与圆周率的和。

高斯的测地三角形内角和公式，以球面为例。

曲面曲率K用来度量曲面在每一点的弯曲程度，现在叫做高斯曲率。高斯发现它是一个内蕴的量，由曲面自身的度量决定而与外围空间无关，把这个性质叫做绝妙定理。所以高斯-博内公式是一个内蕴的公式。

曲面上测地三角形内角和公式也是高斯-博内公式的特殊形式，测地三角形的每一个边是测地线---连接两个顶点的最短曲线。当曲线不是测地线时便在曲面内产生了弯曲，就像在平面上连接两点的是曲线而不是直线，它的曲率用kg表示，叫做测地曲率，也是一个内蕴的量。年法国数学家博内（-）把高斯的公式推广到由有限个光滑曲线围成的曲面片D上，得到经典的高斯-博内公式（下图）。曲面片D是平面多边形在曲面上的推广，经典的高斯-博内公式给出了它的内角和与高斯曲率在曲面片D上积分、测地曲率在边界曲线上积分之间的关系。

经典的高斯-博内公式

现在人们熟知的高斯-博内公式是由德国数学家沃尔瑟·冯·戴克在年给出的定义在紧的可定向的曲面上的公式。紧曲面是有界的曲面，可以没有边，例如球面和环面，也可以有边，例如莫比乌斯带。一张无限延伸的平面不是紧的，因为它没有界。可定向是指曲面有两个面，例如球面有内外两个面，一张纸有正反两面，而莫比乌斯带是不可定向的曲面，它只有一个面。戴克的高斯-博内公式是：

沃尔瑟·冯·戴克（WalthervonDyck，-）的高斯-博内公式

公式左边是高斯曲率在整个曲面上的积分，高斯曲率是曲面的局部性质，右边χ(M)是欧拉示性数，是曲面的整体性质，所以高斯-博内公式建立了曲面的局部性质与整体性质之间的联系，这也是高斯曲率的绝妙之处。

欧拉示性数χ(M)是曲面的拓扑不变量，意思是如果两个曲面是拓扑等价的，也就是在不撕裂的条件下一个曲面可以连续形变成另一个曲面，那么它们有相同的欧拉示性数，所以欧拉示性数也是曲面的整体不变量。一个三角形的欧拉示性数χ(M)是面的个数加顶点的个数减去边的个数，等于1。对于一般的曲面，把它剖分成一族三角形面片后，计算面的个数加顶点的个数减去边的个数得到曲面的欧拉示性数。

上述曲面特指维空间中的2维曲面，例如球面、环面，它们的维数比所在空间的维数低一维。在一般的n（n可以大于）维空间中，比空间维数低一维的曲面叫做超曲面，例如4维空间中的维球面是一个超曲面。关于这个维球面有一个最著名的猜想是庞加莱猜想，已经在年被俄国数学家佩雷尔曼证明了。无论是曲线、曲面还是超曲面，都属于一个更一般的概念叫做流形。曲线是1维流形，曲面是2维流形，维球面是维流形。从曲面的微分几何到流形的推广是由高斯的学生黎曼完成的，现在称之为黎曼几何，相应的流形叫做黎曼流形。

从戴克的高斯-博内公式推广到高维空间中的超曲面或者一般的闭黎曼流形（紧的没有边的黎曼流形）上是一个难题。由于奇数维闭流形的欧拉示性数是0，所以只考虑在偶数维闭黎曼流形上的推广。这个问题在戴克之后经过了0多年都没有进展，直到年霍普夫先后发表的两篇论文把高斯-博内公式推广到高维空间紧的可定向超曲面上，成为一个重要的进展。而一般闭黎曼流形上的高斯-博内公式，也叫做广义高斯-博内公式，霍普夫没有证明，他认为这是微分几何最重要最困难的问题。这个问题在年冬天由在普林斯顿高等研究院（IAS）访问的陈省身教授彻底解决了。

“我年8月抵普林斯顿，11月成此文，立刻成名。所以在IAS两年半时间，交游广阔，生活十分愉快。”

---陈省身

年7月，陈省身离开工作了六年的昆明西南联大，在维布伦和外尔邀请下前往美国普林斯顿高等研究院访问。在西南联大工作时他已经做出了优秀的成果，发表了多篇论文，尤其是在普林斯顿大学和高等研究院合办的《数学年刊》上发表的文章得到外尔和韦伊的高度评价，成为他受邀访问的重要原因。并且他想在数学上做出更大的成就，下定决心去美国做一次短期的访问。由于国内正在抗战，交通中断，他无法探望远在上海的夫人和年幼的儿子，加上美日在太平洋开战，往返中美之间的民用线路全部中断，只能从昆明乘坐美国的军用运输机出发前往美国。在辗转多地历经七天的飞行后陈省身到达美国佛罗里达州的迈阿密，从那里坐火车前往普林斯顿。

普林斯顿高等研究院在年搬到了校外不远处新建的大楼里，不再与普林斯顿大学数学系共用范因楼（旧范因楼，现更名为琼斯楼）。研究院没有教学任务，不同背景的数学家来到这里讲学交流，在自由的环境中探索数学的奥妙。

刚到研究院的陈省身心系整体微分几何，虽没有非常明确的研究问题，但他对高斯-博内问题很感兴趣，早在汉堡留学时就从布拉施克的书中学到了高斯-博内公式，在西南联大工作时还给出了一个低维情形的简单证明，不过能否在普林斯顿取得新的进展还不清楚。他充分利用这里的学术环境参加高等研究院以及普林斯顿大学的学术活动，与维布伦、外尔、冯·诺伊曼、莱夫谢茨以及在附近里海大学工作的韦伊交流切磋。在与韦伊交流后陈省身把目标放在了广义高斯-博内公式的内蕴证明上。

法国数学家安德烈·韦伊（-8）是创建布尔巴基群体的核心人物之一。他年在巴黎大学哈达玛（Hadamard）指导下获得博士学位后，先后在不同的大学教书，直到19年来到斯特拉斯堡大学。他在那里遇见了亨利·嘉当（埃利·嘉当的儿子），他们都对使用的分析教材不满，于是从年开始与其他几位年轻的数学家在巴黎圣米歇尔大道的一个咖啡馆里定期见面讨论，创立了布尔巴基群体。二战爆发后，正在芬兰访问奈望林纳（Nevanlinna）和阿尔福斯的韦伊为了避免回国后被迫加入军队就留在了那里，结果不久被捕入狱，他与俄国数学家庞德里雅金关于数学内容的信件被当作间谍证据，面临被处决的险境。在奈望林纳的解救下他被驱逐出芬兰，随后被送回法国投入监狱中。0年5月韦伊被释放后加入军队，但是他一直在寻找机会离开法国，终于在1年1月与家人设法到达美国。在洛克菲勒基金会资助下他先是在宾夕法尼亚的哈弗福德学院教书，后在2年来到里海大学（LehighUniversity）工作。

安德烈·韦伊（AndréWeil，-8）图片来源：mathshistory.st-andrews.ac.uk

里海大学距离普林斯顿不是太远，所以陈省身很快就见到了韦伊。韦伊和陈省身年龄相仿，两人都熟悉埃利·嘉当的工作，都对新兴的纤维丛理论感兴趣。据陈省身回忆他年在嘉当那里学习时参加过一次朱利亚讨论班，韦伊也在那里，不过那时两人都未给对方留下深刻印象。这一次相见他们交谈非常投机。

并且，第一个广义高斯-博内公式的证明正是由韦伊不久前在哈弗福德学院工作时和艾伦多弗（C.B.Allendoerfer）完成的。韦伊和陈省身讨论了这个证明，他们的方法需要把偶数维黎曼流形嵌入到更高维的欧式空间中，因此证明不是内蕴的。但是高斯-博内公式是一个内蕴的公式，需要一个内蕴的证明。和韦伊的谈话让陈省身了解到这个问题的最新进展，感觉解决这个问题的时机已经成熟。他根据对2维问题的理解，相信正确的方法是使用一种叫做超度的思想，但是“要彻底解决需要信心”。陈省身后来回忆时说，

“有两个困难，一个是我不知道关于向量场奇异性的庞加莱-霍普夫定理，二是超度要用在单位切丛而不是主丛上，有一些技术上的困难。这些困难很快就解决了，所以这个故事有一个愉快的结尾。”

陈省身只用了数周时间就完成了证明。之后有一天，他去范因楼时碰到莱夫谢茨，在交谈中提到自己刚完成的这个内蕴证明，莱夫谢茨听后随即向陈省身约稿，请他整理好论文投到《数学年刊》（参考[1]）。

出生在俄国莫斯科的莱夫谢茨也是一位传奇数学家。他年幼时随父母到法国巴黎定居，在那里接受教育直到年21岁时来到美国。他先在一家机车厂工作了几个月，之后去了西屋电气公司。年他在工作中因变压器爆炸烧伤导致失去了双手和前臂。在经历了精神和身体上巨大的痛苦和折磨后，他把兴趣完全转移到数学上，在克拉克大学完成博士学位走上了职业数学家之路。在博士期间他遇到了一位数学系女生，成为他的妻子，支持和鼓励他克服残疾，鼓舞他重燃斗志。年由亚历山大推荐莱夫谢茨来到普林斯顿大学访问，一年后成为副教授，并在19年接替维布伦成为教授。莱夫谢茨从年到年任《数学年刊》的编辑，他严格苛刻的录用标准在《数学年刊》发展成为顶级的数学学术期刊中起了重要的作用。

莱夫谢茨（SolomonLefschetz，-）图片来源：mathshistory.st-andrews.ac.uk

4年10月，陈省身的论文“闭黎曼流形上高斯-博内公式一个简单的内蕴证明”在《数学年刊》发表。韦伊评价说“陈的证明第一次使用了内蕴丛，这个长度为1的切向量丛，因此彻底理清了整个问题。”

陈省身4年发表在《数学年刊》的论文“闭黎曼流形上高斯-博内公式一个简单的内蕴证明”

已退休的加州大学伯克利分校数学系教授伍鸿熙（Hung-HsiWu）在7年的一篇回忆高斯-博内公式发展历程的文章中说（参考[]），“陈的证明第一次表明了流形上的纤维丛在微分几何中是不可或缺的，因此理解一个流形需要理解它的纤维丛。这个想法现在看来是显而易见的，但是在4年，这是一个主要的突破，改变了微分几何的进程。”

如今广义高斯-博内公式也被称为高斯-博内-陈定理，它揭示出流形的局部属性和整体属性之间的联系，并且由于高斯曲率是局部不变量，因此建立了局部不变量与整体不变量之间的联系。陈省身的学生、菲尔兹奖得主丘成桐教授称“陈省身是整体内蕴几何之父”，这篇论文就是陈省身在整体内蕴几何领域的开山之作。

陈省身证明的广义高斯-博内公式

陈省身的证明使用了一个法宝，那就是从埃利·嘉当那里学到的外微分。